數學專業畢業論文近世代數

1、0群及其簡單性質 群及其簡單性質摘 要：首先本文給出群的定義，繼而討論群的各種基本性質。并且討論了一種很重要的群——循環群。本文的最后詳細講解了群同態的一些性質及其應用。關鍵詞：群、群的性質、循環群、群同態；Group and its simple propertiesAbstract：First the definition of group is given, and groups of all kinds of basic pro

2、perties are discussed .and it discusses on an important group of cyclic group. at the end of this article some properties and applications of the group of homomorphism are discussed in detail.Key Words：group, the prop

3、erties of group, cyclic group，group of homomorphism；0 前言： 前言：近世代數（modern algebra）又稱為抽象代數（abstract algebra） ，它的研究對象是代數系統，所謂代數系統，是由一個集合和定義在這個集合中的一種或若干種運算所構成的一個系統。由于代數系統中運算個數以及對運算所要求的附加條件不同，從而產生了各種不同的代數系統，這就形成了近世代數各個不同

4、的分支。其中最基本、最重要的分支是：群論、環論和域論，其中群論是基礎。體系的性質取決于一些基本定律(如閉合律、結合律、交換律、分配律、零和單位元素、負和逆等)中有哪些成立。人們研究滿足某些特定定律的抽象體系，而群是現代代數學中最基本、最重要的代數系，是一個非?；钴S的領域，也是目前研究成果最豐富、研究最廣泛的代數系。群，簡而言之是對某種運算滿足閉合律、結合律、單位元素和逆這些定律的代數系。這一代數系的提出，對于當代數學及其它領域有著不可估

5、量的作用，是代數發展史上由古典代數進入近世代數的里程碑。1 群的基本概念 群的基本概念1.1 1.1 群的定義 群的定義 2（稱為模 n 的加法）為 。 b a b a ? ? ?由于同余類的代表元有不同的選擇，我們必須驗證以上定義的運算結果與代表元的選擇無關。設 ， ，則有 ， 2 1 a a ? 2 1 b b ? ) ( 2 1 a a n ?? ? ? ? 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 ) ( )

6、 ( ) ( ) ( ) ( b a b a b a b a n b b a a n b b n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以模 的加法是 中的一個二元運算。顯然，單位元是 ， ， 的逆 n n Z 0 n Z k ? ? k元是 。所以 是群。 k n ? ) , ( ? n Z例 2：設 ，在 中定義乘法（稱為模 n 的乘法） ? ? 1 ) , ( , ? ? ?? n k Z k k Z n n?n Z

7、為 。 ab b a ? ?對這個運算不僅需要檢驗它的唯一性，而且要檢驗它的封閉性，因為由， 得出 并不明顯。? ? n Z a? ? n Z b? ? n Z ab先證封閉性：因為由 和 ，所以 1 ) , ( , ? ? ?? n a Z b a n 1 ) , ( 1 ) , ( ? ? ? n ab n b。? ? n Z ab再證唯一性：設 ， ，則有 ， 2 1 a a ? 2 1 b b ? ) ( 2 1 a a n

8、?? ?2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 22 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1) ( )] ( ) () [( ) ( ) ( ) ( ) (b a b a b a b a n b b a b a ab a b a n b a b a b a b a n b b a a n b b n? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以模 n 的乘法是 中的一

9、個二元運算。?n Z結合律顯然滿足。單位元是 。對 ，由 知 ，使 1? ? ? n Z a 1 ) , ( ? n a Z q p ? ? ,，因而有 ，即 ，所以 ，即 中 1 ? ? qn pa ) (mod 1 n pa ? 1 ? ? ? pa a p p a ? ?1 ?n Z每一元素均有逆元。綜上， 對模 n 的乘法構成群。?n Z的階數為 —歐拉函數：小于 n 并與 n 互素的正整數的個數。?n Z ) (n ?1.3