含指標項半參數回歸模型的估計與檢驗.pdf

1、含指標項半參數回歸模型是非參數回歸分析中一類非常重要的統計模型，主要包括單指標模型、部分線性單指標模型、變系數單指標模型。這類模型的重要特征是將一個多元向量轉化為一元指標，不僅有效地避免了“維數禍根(Curse ofDimensionality)”問題，而且仍能捕捉到高維數據的重要特征。因此，對此類半參數模型的統計推斷是多元非參數回歸的重要問題，是當前研究的熱點問題，也是本文要研究的主要問題。
　　 首先，我們研究了單指標模型(

2、Single-Index Model)指標參數的檢驗問題。單指標模型可表述為其中Y∈R是應變量，X=(X1，···，Xq)T∈Rq是協變量，αo=(α01，…，αOq)T是Rq上的未知指標參數且為了模型的可識別性滿足‖α0‖=1，α0(.)是未知的可測函數，稱為指標函數；誤差ε獨立于X且E(ε)=0和Var(ε)=α2．在上述的半參數模型的檢驗問題中，通常的極大似然比檢驗可能不存在，主要是因為未知函數α0(.)的最大似然估計（Maxim

3、um Likelihood Estimator）并不存在，即便它是存在的，但其相應的極大似然比檢驗也不是最優的，為此，Fan et al.(2001)提出了廣義似然比(GeneralizedLikelihood Ratio)檢驗，簡記為GLR檢驗，并得到了非參數類型的Wilks定理，本文則利用GLR檢驗方法研究了單指標模型中指標參數αo的檢驗，建立了相應的GLR檢驗統計量，并證明了該統計量漸近服從X2分布，不僅在含指標項半參數回歸模型中

4、揭示了新的Wilks現象，而且擴大了GLR檢驗的適用范圍。我們的模擬研究表明所提出的檢驗統計量表現出了較優的功效。
　　 其次，在本論文中我們研究了部分線性單指標模型(Partially Linear Single-IndexModel)的估計與檢驗問題，主要包括模型的剖面最小二乘估計(Profile Least-SquaredEstimators)、指標參數與線性部分參數的檢驗。部分線性單指標模型首先由Carroll etal

5、.(1997)提出并研究的，它是上述單指標模型的推廣，可表述為其中Z=（Z1，…，Zp）T∈RP是協變量，β0=（β0l，…，β0p）T是Rp上的未知參數，誤差ε獨立于X和Z，其他條件同上面的單指標模型。本文提出了模型中未知量的剖面最小二乘估計(Profile Least-Squares Estimators)，證明了所給估計漸近服從正態分布；建立在剖面最小二乘估計的基礎上，利用GLR檢驗方法給出在一定限制條件下的指標參數α0和線性參數

6、β0的檢驗的檢驗統計量，并證明了該統計量漸近服從X2分布，模擬例子表明剖面最小二乘估計表現較優，所提出的檢驗統計量的功效表現較好，揭示了新的Wilks現象。
　　 再次，在本論文中我們將研究變系數單指標模型(Varying-Coefficient Single-IndexModel)的檢驗問題，主要包括指標參數、指標函數以及函數系數的檢驗。為了研究環境污染對呼吸疾病的影響，同時考慮到呼吸疾病的發病與氣候有一定關系，五種空氣污染物

7、（二氧化硫、二氧化氮、一氧化氮、臭氧、可吸入的空氣塵埃）和兩個氣候指標（溫度、濕度）被認為是引起呼吸疾病的主要因素，Wong et al.(2008)引入了變系數單指標模型，即這里a(.)=(a1(.)，…，ap(.))T是未知的函數系數，U∈R是一協變量，誤差變量￡與X、Z獨立，其他條件同上面的單指標模型。他們探討了這些因素對呼吸疾病的影響。由于單指標變系數模型中指標函數和系數函數具有不同的自變量，這些特點為模型的估計和檢驗帶來了極大

8、的困難。Wong et al.(2008)結合局部線性方法和回切技巧給出了該模型的參數和非參數估計以及估計的計算方法，并且討論了它們的大樣本和小樣本性質，以及該模型在大眾衛生方面的應用。而本文則利用GLR檢驗方法研究了關于此模型的指標函數ao(.)是否具有線性形式的檢驗問題，以及系數函數a(.)是否隨協變量U可變的檢驗問題，也研究了指標參數ao的檢驗問題，本文證明了所提出的GLR檢驗統計量的漸近服從X2分布，模擬與實際例子研究表明所提檢