常微分方程的動力學行為及符號動力學分析.pdf

1、二十世紀五十年代以來，非線性科學得到了迅速的發展．隨著研究工作的不斷深入，它的內容也在不斷擴大，現已滲透到神經網絡、元胞自動機、復雜網絡等多個新型研究領域． 探討非線性系統尤其是那些已研究得很多的系統(如Lorenz系統)中的新現象是一個很有意義的課題，有助于豐富非線性科學知識的內容，深化對非線性科學的認識． 目前，非線性科學的主要研究方法是數學解析、計算機模擬或具體的實驗．由于混沌現象的復雜性，新現象、新屬性和新規律的

2、探索必須要有新的研究手段．將符號動力學知識運用于非線性科學的研究是一個突破口．利用這種方法可以獲取許多單純借助分析或數值方法不能得到的整體性的結論． 基于以上兩個方面，本文對有關非線性系統的動力學行為及符號動力學進行了探索，主要包括以下三個內容： 1．內分岔參數空間中Lorenz系統的動力學行為研究．在常微分方程系統中，不動點的性質對系統的全局行為影響很大．把不動點的一些分量作為內參量并和原來的有關參數一起構成相應的參數

3、空間．在此空間中，通過不動點的變化可以對Poincar?e映象所表現的系統的動力學行為進行研究．根據這個思想，我們建立了此新的參數空間――內分岔參數空間并在該空間下在較大范圍內選擇不同的參數對Lorenz系統進行數值計算，發現了一般混沌現象之外的其它新的共存類，如不動點與周期軌道或混沌吸引子的共存；周期軌道與局部混沌或通向混沌的倍周期分岔序列的共存等等．這些新現象的發現補充和完善了前人對Lorenz系統的研究，為我們今后的工作開辟了一條

4、新的思路． 2．內分岔參數空間中Lorenz系統的符號動力學研究．符號動力學是一種拓撲與數值相結合的研究方法．我們在內分岔參數空間下對Lorenz系統進行了一維和二維的符號動力學分析，給出了長度直至6的所有允許周期軌道序列及相應的位置坐標．此前，導師劉軍賢教授已對原參數空間下Lorenz系統作了詳細的符號動力學分析．然而，在此新參數空間下，我們能找到很好的控制參量使Lorenz系統的二維特征更明顯，從而符號動力學分析中的基本禁止

5、區更直觀．更重要的的是，雖然內分岔參數空間下x¤ = 3:0，z¤ = 17:0時，混沌吸引子的Poincar?e映象的形狀與原參數空間下r = 28時的一樣，但仔細做流型分析可知前者存在正逆收縮葉，其切點的連線可以對相應的相空間進行分割，出現建立四個字的符號動力學，而不是通常只需要兩個字的符號動力學．當然，更簡潔的方法是看兩者的交換首歸映射．兩種情形下的交換首歸映射明顯不同，導致相空間出現新的分割，從而符號序列描述中字母的個數也不同．