Hopf π-余代數與π-Smash積.pdf

1、Hopf代數是代數學者感興趣的課題，并被深入研究，得到了許多重要結果。Hopfπ-余代數是V.G.Turaev在文獻[15]中引進的一類代數結構，它是Hopf代數的一種推廣。設K是一固定的域，π為任意給定的一個群。域K上的π-余代數C={Cα}α∈π是一簇向量空間，且存在一個余乘法△={△α,β∶Cαβ→Cβ(O)}α,β∈π和一個余單位ε∶C1→K，并且滿足余結合律和余單位性質。π-余代數H=({Hα}α∈π，△，ε)稱為Hopfπ-

2、余代數，是指{Hα}α∈π是一簇K-代數，且存在一簇K-線性映射S={Sα∶Hα→Hα-1}α∈π，S稱為反極元，滿足一系列相容性條件。AlexisVirelizier在文獻[1]中研究了Hopfπ-余代數的一些基本性質，并引入了π-余模等概念，還推廣了擬三角Hopfπ-余代數的一些重要性質。
　　 在Alexis Virelizier關于Hopfπ-余代數的研究工作之前，Susan Montgomery在文獻[4]中已經研究了

3、Hopf代數上的模代數、余模代數、Smash積代數，D.E.Radford在文獻[9]中也研究了Smash余積余代數、Smash雙積等，得到一些重要的結論。在上述背景下，本文中我們定義了Hopfπ-余代數H上的π-H-模代數、π-H-余模余代數和與它們相關的π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π、π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π以及π-Smash雙積A*Hcop等概念。討論了π-Smash積A＃H={A＃Hα

4、}α∈π的K-代數結構；π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π的π-余代數結構；給出并證明了π-Smash雙積A*Hcop成為一個Hopfπ-余代數的條件。具體的討論步驟安排如下。
　　 第一部分，預備知識。主要回顧了π-余代數、Hopfπ-余代數、Coopposite Hopfπ-余代數、π-模及π-余模等有關概念。
　　 第二部分，首先給出了Hopfπ-余代數H上的左π-H-模、左π-H-模代數以及

5、π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π的定義。證明了本文的第一個結論：左π-H-模代數A與Hopfπ-余代數H的π-Smash積A＃H={A＃Hα}α∈π是一簇K-代數，見定義2.3和定理2.4。從而得到在CooppositeHopfπ-余代數Hcop上的π-Smash積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π上的相應結論，見定理2.5。
　　 第三部分，首先，定義了Hopfπ-余代數H上的右π-H-余模、右π-H-余模余代數

6、及π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π等概念。其次，得出并證明了本文的另一個重要結論：右π-H-余模余代數A與Hopfπ-余代數Hcop的π-Smash余積A＃Hcop={A＃Hcopα}α∈π是一個π-余代數，見定義3.3和定理3.4。
　　 第四部分，先引入π-Smash雙積A*Hcop的定義，即A*Hcop既是一個π-Smash積又是一個π-Smash余積。接著給出并證明了π-Smash雙積A*Hcop